Cu cu ru cu cu Paloma, a ranchera, was composed by Tomas Mendes Sosa (Thomas Mendez).
It became popular in Latin America and in the southwestern United States (hit record by Lola Beltran). It was copied into "New Mexican Folk Songs," Charles F. Lummis (manuscript, indexed in Hispanic-American Folk Song Permathread). The version by Belafonte is accurate, but he revised the ending chorus, following Lola Beltran.

Accents are added in the verses given below:

Lyr. Add: CU CU RU CU CU PALOMA
Tomas Mendez Sosa
1
Dicen que por las noches
no más se le iba en puro llorar
Dicen que no comía
no más se le iba en puro tomar,
Juran que el mismo cielo
se estremecía al oír su llanto;
cómo sufría por ella,
que hasta en su muerte la fue llamando.

Chorus 1
Ay, Ay, ay, ay, ay ... cantaba...
Ay, ay, ay, ay, ay ... gemía ...
Ay, ay, ay, ay, ay ...cantaba ...
De pasión mortal ... moría ...

2
Que una paloma triste
muy de mañana le iba a cantar
a la casita sola
con sus puertitas de par en par,
juran que esa paloma
no es otra cosa más que su alma,
que todavía la espera
a que regrese la desdichada.

Chorus 2
Cu cu rru cu cu ...paloma ...
Cu cu rru cu cu ... no llores ...
Las piedras jamás, paloma,
¿Qué van a saber ... de amores?

Para terminar la canción: (Coda)

Cu cu rru cu cu ..........
cu cu rru cu cu ..........
cu cu rru cu cu ..........
Paloma, ya no le llores ......

From Charles F. Lummis manuscript. Titles of all songs in the MS are given in the Hispanic-American Folk Song thread, 118037:
Hispanic American

Lola Beltran Lyrics:
Cu cu ru cu cu paloma