Here's my best guess at the Italian and English lyrics based on this thread and the help of google translate.  I'm not terribly confident sorting through the dialect, but sometimes it's helpful to see phonetics on paper. It's really a lovely lullaby - I will add it to the rotation immediately!

Ti ri ni, ti ri na
Bella figlia che tiene mamaE la mamma non compra piùFigli belli come sei tuDormi, dormi, dormi, dormi, dormi, dormi

What a beautiful baby daughter mamma has.
Mamma will not have any more
Daughters as beautiful as you

Quando la mamma la mette a dormire
L'angeleddi la stan a guardare
E tutti insieme se mettan a dire
Bella figlia che tiene mammaE quando cresce sta bella figliola
Du[l]ci con una caramellaCerto chi mamma la manda la scuolaPoi ci torno ci canta così

When mamma puts her baby to bed
All the angels will protect her
All together they will say
What a beautiful baby daughter mamma has.
And when she grows up she has her own beautiful daughterThere with a candyWith which mom sends her to schoolThen she comes back and sings like this.

Ti ri ni, ti ri na
Bella figlia che tiene mama
E la mamma non compra piùFigli belli come sei tu
Dormi, dormi, dormi, dormi, dormi, dormi

Dopo che scuola sta figlia finisce
Certo una bella picciotta [ranesce]
Canta la mamma che tutto capisce
Bella figlia che tiene a mamma
Quando sta figlia ta pronta sposare
Veni marchese por d'un cavaliere
O che gran peste si devi fare
Mentre la mamma ci canta cosi

After daughter's school is ended
Certainly a nice little [frog]
Sings the mother who understands all
Beautiful daughter held onto mom.
When the daughter is ready to marry
Come Marquise for a Knight (Italian nobleman honorifics)
Oh what a big pest you must be
While mamna sings like this.

Ti ri ni, ti ri na
Bella figlia che tiene mama
E la mamma non compra più
Figli belli come sei tu
Dormi, dormi, dormi, dormi, dormi, dormi

Dopo la figlia sposare diventa
La canzone [ma chi ero] non canta
Come la mamma contava contenta
Bella figlia che tiene a mamma
E allora parlo [mari e] ci dici
Tu siamo felici come quando cantava mamma
Voglio cantare di gioia felici 
Come quando cantava mamma

After the daughter gets married
But does not yet sing the song
As mother sang contentedly
Til she holds her beautiful daughter
And then how she tells us 
She is as happy as when her mama sang:
"I want to sing with joyful happiness
As happy as when my mother sang"

Ti ri ni, ti ri na
Bella figlia che tiene mama
E la mamma non compra più
Figli belli come sei tu
Dormi, dormi, dormi, dormi, dormi, dormi